# El sistema Dídimo - Dimorfo
Para conseguir que el impacto de DART provocase el cambio requerido en el período de Dimorfo, la primera parte de la misión consistió en hacer un estudio exhaustivo de las propiedades del asteroide para recabar datos sobre su órbita y su posición.
El asteroide Dimorfo forma parte de un sistema doble de asteroides. Con un diámetro de aproximadamente 160 metros, Dimorfo orbita alrededor de un asteroide mayor, Dídimo, de 780 metros de diámetro; a su vez, el sistema Dídimo-Dimorfo orbita alrededor del Sol.
Analizando datos de las curvas de luz del sistema entre los años 2003 y 2021, y utilizando el [método del tránsito]() (que es el mismo que se utiliza para estudiar los exoplanetas), los científicos obtuvieron un valor de 11 horas y 55 minutos para el período orbital de Dimorfo alrededor de Dídimo.
Para estudiar este sistema doble de asteroides usaremos los siguientes datos que se han obtenido del artículo [The Double Asteroid Redirection Test (DART): Planetary Defense Investigations and Requirements](https://iopscience.iop.org/article/10.3847/PSJ/ac063e/pdf). El asteroide primario es Dídimo y el asteroide secundario es Dimorfo.
| Parámetro | Valor ⁽¹⁾ |
| ---------------------------------------- | -------------------------- |
| Diámetro del asteroide primario | 780 m ± 30 m |
| Diámetro del asteroide secundario | 164 m ± 18 m |
| Densidad del asteroide primario | 2170 kg m⁻³ ± 350 kg m⁻³ |
| Densidad del asteroide secundario ⁽²⁾ | 2170 kg m⁻³ ± 350 kg m⁻³ |
| Período orbital del asteroide secundario | 11,9216287 h ± 0,0000031 h |
| Parámetro gravitacional, GM ⁽³⁾ | 37,036 m³ s⁻² |
⁽¹⁾ *Los valores se acompañan de la incertidumbre experimental con la que fueron medidos.*
⁽²⁾ *La densidad del asteroide secundario es desconocida. Sin embargo, dado que la densidad conocida de otros objetos similares está en el rango 2000–2700 kg m⁻³, se supone un valor de 2170 kg m⁻³* *para que la densidad del secundario sea idéntica a la del primario.*
⁽³⁾ *Cuando un cuerpo orbita alrededor de otro mucho mayor, como es el caso del asteroide Dimorfo alrededor de Dídimo, el producto GM (donde G es la constante de gravitación universal y M es la masa del cuerpo mayor) se puede conocer con más precisión que G y M por separado. Este producto GM se llama parámetro gravitacional estándar del sistema.*
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{% tab title="Preguntas" %}
1. Para obtener el parámetro gravitacional del sistema se debe suponer que la masa de Dimorfo es pequeña comparada con la de Dídimo. Si suponemos que ambos cuerpos son esféricos, ¿qué relación hay entre sus masas?
2. Suponiendo que la trayectoria que describe Dimorfo es circular (lo cual es consistente con las observaciones), calcula el radio de su órbita.
3. ¿Con qué velocidad orbita Dimorfo?
4. ¿Cuál es la energía cinética, potencial y mecánica del asteroide Dimorfo en su órbita alrededor de Dídimo?
{% endtab %}
{% tab title="Respuesta 1" %}
Si representamos por $$D$$ la densidad y $$d$$ el diámetro de los asteroides, la relación entre sus masas, suponiendo que son esféricos y con una densidad homogénea, es:
$$
\frac {m\_{Didimo}}{m\_{Dimorfo}} = \frac {\cancel D \cdot V\_{Didimo}}{\cancel D \cdot V\_{Dimorfo}} = \left ( {\frac {d\_{Didimo}}{d\_{Dimorfo}}} \right )^{3} = \left ( {\frac {780}{164}} \right )^{3} = 108
$$
Es decir, la masa del asteroide principal Dídimo es más de cien veces mayor que la masa de Dimorfo.
{% endtab %}
{% tab title="Respuesta 2" %}
Por la tercera ley de Kepler el radio de la órbita es:
$$
r = \sqrt\[3]{\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}}
$$
Sustituyendo los datos obtenemos un valor para el radio de:
$$
r = \sqrt\[3]{\frac{37,036 \cdot (11,9216287 \cdot 3600)^{2}}{4\pi^{2}}} = 1199,997 , m \approx 1200 , m
$$
El radio de la órbita de Dimorfo alrededor de Dídimo es de 1,2 km.
{% endtab %}
{% tab title="Respuesta 3" %}
La velocidad orbital es:
$$
v = \frac{2\pi r}{T}
$$
$$
v = \frac{2\pi \cdot 1200} {11,9216287 \cdot 3600} = 0,176 , m/s
$$
Es decir, Dimorfo orbita a una velocidad de 17,6 cm/s.
{% endtab %}
{% tab title="Respuesta 4" %}
Calculamos primero la masa de Dimorfo a partir de su densidad y su radio:
$$
m = D \cdot V = D \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}
$$
$$
m = D \cdot V = 2170 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 82^{3} = 5,01 \cdot 10^9 , kg
$$
#### Energía cinética
$$
E\_c = \frac{1}{2}m v^2
$$
$$
E\_c = \frac{1}{2} \cdot 5,01 \cdot 10^{9} \cdot 0,176^2 = 7,73 \cdot 10^{7} \cdot J
$$
#### Energía potencial
$$
E\_p = -\frac{GMm}{r}
$$
$$
E\_p = -\frac{37,036 \cdot 5,01 \cdot 10^{9}}{1200} = -1,54 \cdot 10^{8} J
$$
#### Energía mecánica
$$
E\_m = - \frac{1}{2} \frac{GMm}{r}
$$
$$
E\_m = -\frac{1}{2} \cdot \frac{37,036 \cdot 5,01 \cdot 10^{9}}{1200} = -7,73 \cdot 10^{7} J
$$
#### Relación entre las energías
Se puede comprobar que la relación entre estas tres energías para un asteroide en su órbita es:
$$
E\_m = \frac{1}{2}E\_p = -E\_c
$$
{% endtab %}
{% endtabs %}
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